الهندسة التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد فروع Manifold قابل للمفاضلة أيضا، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية.
أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة باستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جوهري مقابل عرضيِ
منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر عرضية : حيث يتم اعتبار المنحنى ،و السطح واقعين في فضاء إقليدي ذو أبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواسِ. كانت البداية بعملِ ريمان،حيث طُوّرتْ وجهة نظر الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معرفا بشكل حر.
إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهو على سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الاتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه.
وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة تركيبِ إلى الجوهريةِ.
[عدل]هندسة المنحنيات التفاضلية
قائمة بمواضيع المنحنيات
Frenet-Serret formulas
المنحنيات في الهندسة التفاضلية
عنصر خط
انحناء Curvature
نصف قطر الانحناء Radius of curvature
Osculating circle
منحني Curve
[عدل]هندسة السطوح التفاضلية
سطح محكوم Ruled surface
سطح مخروطي Conical surface
انحناء متوسط Mean curvature
Theorema egregium
مبرهنة غاوس-بينيت Gauss-Bonnet theorem
[عدل]الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet theorem
حسبان متعدد المتغيرات,
متعدد التفرع Manifold
شعاع مماسي أو متجه مماسي Tangent vector
فضاء مماسي Tangent space
حزمة مماسات Tangent bundle
فضاء مماسي مرافق Cotangent space
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حقل شعاعي Vector field
حقل تينسوري Tensor field
شكل تفاضلي Differential form
مشتق خارجي Exterior derivative
مبرهنة فوربينيوس Frobenius theorem
اتصال (رياضيات) Contact (mathematics
[عدل]طوبولوجيا تفاضلية
تشاكل تفاضلي Diffeomorphism
Large diffeomorphism
قابلية توجيه Orientability
مبرهنة ويتني المضمرة Whitney embedding theorem
قيمة حرجة Critical value
نقطة سادل Saddle point
نظرية مورس Morse theory
مشتق لاي Lie derivative
مبرهنة هيري بول Hairy ball theorem
مبرهنة بوانكاريه-هوبف Poincaré-Hopf theorem
مبرهنة ستوكس Stokes' theorem
De Rham cohomology
مفارقة سميل Smale's paradox
[عدل]حزم ليفية Fiber bundles
الحزمة الليفية
حزمة مبدئية Principal bundle
حزمة إطار Frame bundle
حزمة هوبف Hopf bundle
حزمة مترافقة Associated bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حزمة مماسية Tangent bundle
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة خط Line bundle
حزمة مفصلية Jet bundle
[عدل]هندسة ريمانية
List of coordinate charts
تينسور متري Metric tensor
متعدد تفرع ريماني Riemannian manifold
هندسة لااقليدية Non-Euclidean geometry
زيادة زاوية Angle excess
عالم-كرة Sphere-world
معامل نجمة هودج Hodge star operator
حقل شعاع قاتل Killing vector field
جيوديسي Geodesic
جيوديسي أولي Prime geodesic
Geodesic flow
إسقاط أسي Exponential map
Injectivity radius
حقل جاكوبي Jacobi field
مبرهنة المجانسة Uniformization theorem
مبرهنة مايرز Myers theorem
فضاء متناظر Symmetric space
سطح فائق Hypersurface
مبرهنة ناش المضمرة Nash embedding theorem
مبرهنة الانضغاط لغروموف Gromov's compactness theorem
حدسية هسيانغ-لاوسون Hsiang-Lawson's conjecture
متعدد تفرع جزئي ريماني Riemannian submanifold
[عدل]بنى متعددة
متري جوهري Intrinsic metric
متعدد تفرع ريماني كاذب Pseudo-Riemannian manifold
متعدد تفرع ريماني-جزئي Sub-Riemannian manifold
نسبية عامة General relativity
هولونومي (تقييد تام) Holonomy، هولونومي محلية
G-structure
متعدد تفرع معقد Complex manifold،
متعدد تفرع معقد تقريبا Almost complex manifold
متعدد تفرع كيلر Kähler manifold
Calabi-Yau spaces
Hyperkähler manifold
Symplectic topology
هندسة اتصال Contact geometry
G2 manifold
Foliation
شروط التكاملية للجمل التفاضلية
هندسة فينسلر Finsler geometry
هندسة معلومات Information geometry
[عدل]انحناء Curvature
المقالة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني
Theorema Egregium
مبرهنة غاوس-بونيت Gauss-Bonnet theorem
اسقاط غاوس Gauss map
شكل أصلي ثان Second fundamental form
شعاع انحناء Curvature vector
شكل الانحناء Curvature form
تينسور الانحناء Curvature tensor
انحناء جيوديسي Geodesic curvature
انحناء مقياسي Scalar curvature
انحناء مقطعي Sectional curvature
انحناء ريتشي Ricci curvature، انبساط ريتشي Ricci flat
انحناء ويلي Weyl curvature
جريان ريتشي Ricci flow
سطح أصغري Minimal surface
تواصل (رياضيات) Connection (mathematics)
شكل التواصل Connection form
مبرهنة شيرن-غاوس-بونيت Chern-Gauss-Bonnet theorem
Chern-Weil homomorphism
تواصل كارتان Cartan connection
تطبيقات تواصل كارتان Cartan connection applications
Vierbein
نظرية ابنشتاين-كارتان Einstein-Cartan theory
مشتق متباين مترافق Covariant derivative
تواصل ليفي-كيفيتا Levi-Civita connection
إطار متحرك Moving frame
نقل متوازي Parallel transport
عزم (هندسة تفاضلية) Torsion (differential geometry
أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة باستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جوهري مقابل عرضيِ
منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر عرضية : حيث يتم اعتبار المنحنى ،و السطح واقعين في فضاء إقليدي ذو أبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواسِ. كانت البداية بعملِ ريمان،حيث طُوّرتْ وجهة نظر الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معرفا بشكل حر.
إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهو على سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الاتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه.
وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة تركيبِ إلى الجوهريةِ.
[عدل]هندسة المنحنيات التفاضلية
قائمة بمواضيع المنحنيات
Frenet-Serret formulas
المنحنيات في الهندسة التفاضلية
عنصر خط
انحناء Curvature
نصف قطر الانحناء Radius of curvature
Osculating circle
منحني Curve
[عدل]هندسة السطوح التفاضلية
سطح محكوم Ruled surface
سطح مخروطي Conical surface
انحناء متوسط Mean curvature
Theorema egregium
مبرهنة غاوس-بينيت Gauss-Bonnet theorem
[عدل]الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet theorem
حسبان متعدد المتغيرات,
متعدد التفرع Manifold
شعاع مماسي أو متجه مماسي Tangent vector
فضاء مماسي Tangent space
حزمة مماسات Tangent bundle
فضاء مماسي مرافق Cotangent space
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حقل شعاعي Vector field
حقل تينسوري Tensor field
شكل تفاضلي Differential form
مشتق خارجي Exterior derivative
مبرهنة فوربينيوس Frobenius theorem
اتصال (رياضيات) Contact (mathematics
[عدل]طوبولوجيا تفاضلية
تشاكل تفاضلي Diffeomorphism
Large diffeomorphism
قابلية توجيه Orientability
مبرهنة ويتني المضمرة Whitney embedding theorem
قيمة حرجة Critical value
نقطة سادل Saddle point
نظرية مورس Morse theory
مشتق لاي Lie derivative
مبرهنة هيري بول Hairy ball theorem
مبرهنة بوانكاريه-هوبف Poincaré-Hopf theorem
مبرهنة ستوكس Stokes' theorem
De Rham cohomology
مفارقة سميل Smale's paradox
[عدل]حزم ليفية Fiber bundles
الحزمة الليفية
حزمة مبدئية Principal bundle
حزمة إطار Frame bundle
حزمة هوبف Hopf bundle
حزمة مترافقة Associated bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حزمة مماسية Tangent bundle
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة خط Line bundle
حزمة مفصلية Jet bundle
[عدل]هندسة ريمانية
List of coordinate charts
تينسور متري Metric tensor
متعدد تفرع ريماني Riemannian manifold
هندسة لااقليدية Non-Euclidean geometry
زيادة زاوية Angle excess
عالم-كرة Sphere-world
معامل نجمة هودج Hodge star operator
حقل شعاع قاتل Killing vector field
جيوديسي Geodesic
جيوديسي أولي Prime geodesic
Geodesic flow
إسقاط أسي Exponential map
Injectivity radius
حقل جاكوبي Jacobi field
مبرهنة المجانسة Uniformization theorem
مبرهنة مايرز Myers theorem
فضاء متناظر Symmetric space
سطح فائق Hypersurface
مبرهنة ناش المضمرة Nash embedding theorem
مبرهنة الانضغاط لغروموف Gromov's compactness theorem
حدسية هسيانغ-لاوسون Hsiang-Lawson's conjecture
متعدد تفرع جزئي ريماني Riemannian submanifold
[عدل]بنى متعددة
متري جوهري Intrinsic metric
متعدد تفرع ريماني كاذب Pseudo-Riemannian manifold
متعدد تفرع ريماني-جزئي Sub-Riemannian manifold
نسبية عامة General relativity
هولونومي (تقييد تام) Holonomy، هولونومي محلية
G-structure
متعدد تفرع معقد Complex manifold،
متعدد تفرع معقد تقريبا Almost complex manifold
متعدد تفرع كيلر Kähler manifold
Calabi-Yau spaces
Hyperkähler manifold
Symplectic topology
هندسة اتصال Contact geometry
G2 manifold
Foliation
شروط التكاملية للجمل التفاضلية
هندسة فينسلر Finsler geometry
هندسة معلومات Information geometry
[عدل]انحناء Curvature
المقالة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني
Theorema Egregium
مبرهنة غاوس-بونيت Gauss-Bonnet theorem
اسقاط غاوس Gauss map
شكل أصلي ثان Second fundamental form
شعاع انحناء Curvature vector
شكل الانحناء Curvature form
تينسور الانحناء Curvature tensor
انحناء جيوديسي Geodesic curvature
انحناء مقياسي Scalar curvature
انحناء مقطعي Sectional curvature
انحناء ريتشي Ricci curvature، انبساط ريتشي Ricci flat
انحناء ويلي Weyl curvature
جريان ريتشي Ricci flow
سطح أصغري Minimal surface
تواصل (رياضيات) Connection (mathematics)
شكل التواصل Connection form
مبرهنة شيرن-غاوس-بونيت Chern-Gauss-Bonnet theorem
Chern-Weil homomorphism
تواصل كارتان Cartan connection
تطبيقات تواصل كارتان Cartan connection applications
Vierbein
نظرية ابنشتاين-كارتان Einstein-Cartan theory
مشتق متباين مترافق Covariant derivative
تواصل ليفي-كيفيتا Levi-Civita connection
إطار متحرك Moving frame
نقل متوازي Parallel transport
عزم (هندسة تفاضلية) Torsion (differential geometry
