المجموعة أو الفئة هي المفهوم الأساسي في جميع فروع الرياضيات، ويعتبر مفهوم المجموعة من المفاهيم الأولية التي لا تُعرَّف. لكننا نتصور المجموعة على أنها طائفة من الأشياء الموضوعة سوياً، وتسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة، وعادة ما تكتب المجموعة باستخدام قوسين { } توضع بينهما عناصر المجموعة، فمثلا :
{a,b,c} هي مجموعة عناصرها : a، b، c.
كما تستخدم في وصف المجموعات أيضاَ الصورة {x | Px} حيث Px هي خاصية أو عبارة رياضية تميز عناصر المجموعة.
وقد انشغل علماء الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ببناء منظومة منطقية متكاملة لوصف المجموعات، وهو ما أصبح علما من علوم الرياضيات يسمى نظرية المجموعات Set Theory. ومن أشهر العلماء الذين اشتغلوا بهذه النظرية: جورج كانتور (1845-1918)، برتراند راسل (1872-1970)، ألفريد هوايتهد (1861-1947)، إرنست زيرميلو (1871-1953)، أبراهام فرانكل (1891-1965)، جون فون نيومان (1903-1957)، كورت جودِل (1906-1978) وبول كوهين (1934 -).
المجموعة Set في الرياضيات هي من أهم أسس ومواضيع الرياضيات التجريدية. إذا أردنا تعريف مبدئي يمكن القول أن كل وحدة تضم أشياء أو عناصر من العالم المادي أو غير المادي، الواقعي أو الخيالي تسمى مجموعة.
يمكن للزمرة ان تكون خالية ولكن لا يمكن لها ان تحتوي على نفس العنصر أكثر من مرة.
[عدل]وصف المجموعة
يمكن لنا أن نصف المجموعة عن طريق كتابة عناصرها إذا كان عددهم قليلا نسبيا. مثلا:
مجموعة رؤساء الجزائر بين 1962 و1991:
{بن بلا، بومدين، بن جديد} وكذلك تساوي {بن جديد، بن بلا، بومدين} لأن الترتيب ليس مهما.
مجموعة دول العالم العربي:
{الجزائر، المغرب، تونس، موريتانيا، ليبيا، مصر، السودان، اليمن،عمان، الصومال، جزر القمر، السعودية، الكويت، قطر، البحرين، الإمارات العربية المتحدة، الأردن، فلسطين، لبنان، سوريا، العراق، دجيبوتي}.
و لكن هذه الطريقة للوصف تعتبر غير مناسبة غالباً خاصة عندما يصبح عدد العناصر كبيراً جداً، بالإضافة إلى أنها غير ممكنة على الإطلاق إذا كان عدد العناصر لا نهائيا. لذا يتم اللجوء في هذه الحالات إلى طريقة أكثر أناقة وذلك بوصف المجموعة عن طريق إعطاء العلاقة التي تربط أعضائها. مثلا مجموعة الأعداد الفردية: {أ| يوجد ب، أ = 2 * ب + 1}
[عدل]نتائج مباشرة
تعريف المجموعة يقود إلى عدد من النتائج المباشرة:
لا يوجد مجموعتين مختلفتين تضمان نفس العناصر.
يوجد مجموعات تضم مجموعات كعناصر.
المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.
[عدل]المجموعة الجزئية
إذا كان كل عنصر في المجموعة أ عنصرا في المجموعة ب تسمى عندها المجموعة أ مجموعة جزئية من ب. إذا كانت أ مجموعة جزئية من ب وب مجموعة جزئية من أ، عندها يكون أ=ب.
{a,b,c} هي مجموعة عناصرها : a، b، c.
كما تستخدم في وصف المجموعات أيضاَ الصورة {x | Px} حيث Px هي خاصية أو عبارة رياضية تميز عناصر المجموعة.
وقد انشغل علماء الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ببناء منظومة منطقية متكاملة لوصف المجموعات، وهو ما أصبح علما من علوم الرياضيات يسمى نظرية المجموعات Set Theory. ومن أشهر العلماء الذين اشتغلوا بهذه النظرية: جورج كانتور (1845-1918)، برتراند راسل (1872-1970)، ألفريد هوايتهد (1861-1947)، إرنست زيرميلو (1871-1953)، أبراهام فرانكل (1891-1965)، جون فون نيومان (1903-1957)، كورت جودِل (1906-1978) وبول كوهين (1934 -).
المجموعة Set في الرياضيات هي من أهم أسس ومواضيع الرياضيات التجريدية. إذا أردنا تعريف مبدئي يمكن القول أن كل وحدة تضم أشياء أو عناصر من العالم المادي أو غير المادي، الواقعي أو الخيالي تسمى مجموعة.
يمكن للزمرة ان تكون خالية ولكن لا يمكن لها ان تحتوي على نفس العنصر أكثر من مرة.
[عدل]وصف المجموعة
يمكن لنا أن نصف المجموعة عن طريق كتابة عناصرها إذا كان عددهم قليلا نسبيا. مثلا:
مجموعة رؤساء الجزائر بين 1962 و1991:
{بن بلا، بومدين، بن جديد} وكذلك تساوي {بن جديد، بن بلا، بومدين} لأن الترتيب ليس مهما.
مجموعة دول العالم العربي:
{الجزائر، المغرب، تونس، موريتانيا، ليبيا، مصر، السودان، اليمن،عمان، الصومال، جزر القمر، السعودية، الكويت، قطر، البحرين، الإمارات العربية المتحدة، الأردن، فلسطين، لبنان، سوريا، العراق، دجيبوتي}.
و لكن هذه الطريقة للوصف تعتبر غير مناسبة غالباً خاصة عندما يصبح عدد العناصر كبيراً جداً، بالإضافة إلى أنها غير ممكنة على الإطلاق إذا كان عدد العناصر لا نهائيا. لذا يتم اللجوء في هذه الحالات إلى طريقة أكثر أناقة وذلك بوصف المجموعة عن طريق إعطاء العلاقة التي تربط أعضائها. مثلا مجموعة الأعداد الفردية: {أ| يوجد ب، أ = 2 * ب + 1}
[عدل]نتائج مباشرة
تعريف المجموعة يقود إلى عدد من النتائج المباشرة:
لا يوجد مجموعتين مختلفتين تضمان نفس العناصر.
يوجد مجموعات تضم مجموعات كعناصر.
المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.
[عدل]المجموعة الجزئية
إذا كان كل عنصر في المجموعة أ عنصرا في المجموعة ب تسمى عندها المجموعة أ مجموعة جزئية من ب. إذا كانت أ مجموعة جزئية من ب وب مجموعة جزئية من أ، عندها يكون أ=ب.
