المثلث هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة.و هو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي قطع مستقيمة.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أنواع المثلثات
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:
مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية. وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.
مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.
متساوي الاضلاع متساوي الساقين مختلف الاضلاع
كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:
مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة(زاوية منفرجة)
مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).
قائم منفرج حاد
[عدل]حقائق عن المثلثات
[عدل]تشابه مثلثين
يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~)
[عدل]نظرية فيثاغورس
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، أي:
أ َ2 = ب َ2 + ج َ2
A2 = B2 + C2
مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام: حيث :
مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاية المحصورة بينهما"
|أ|^2 = |ب|^2 + |ج|^2 - 2 × |ب|× |ج| × جتا (دْ)
A2 = B2 + C2 − 2 * B * C * cosα
و هو صحيح لكل المثلثات حتى ولو لم تكن الزاوية (د) قائمة.
[عدل]مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي:
المساحة = 0.5× ق × ع
Area = 0.5 * B * H
حيث (ق أو B) هي طول أحد أضلاع المثلث ( ويسمى القاعدة)، و(ع أو H) هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل له (ويسمى الارتفاع).
من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:
يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.
[عدل]نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث
الموسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد اضلاع المثلث في منتصفه ويكون عموديّا عليه وتتلاقى الوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاث ويكون تقاطع موسطين عموديين فقط كافيا لمعرفة مركز هذه الدائرة.
الدائرة المحيطة لمثلث يمرّ من رؤوس المثلث الثلاث
تقول مبرهنة طالس انّه إذا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث توجد على ضلع من أضلاع المثلث فانّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.
نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم
.
الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث وتكون عمودية غلى الضلع المقابل. ويمثل الارتفاع البعد بين الراس والضلغ المقابل كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.
تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث
.
منصف الزاوية هو مستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمسّ اضلاع المثلث الثلاث.
الموسّط هو قطعة مستقيم تنطلق من رأس من رؤوس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل وتتقاطع الموسطات الثلاث في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع موسطين فقط كافيا لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين راس المثلث ومركز الثقل مساويا ل 2/3 الموسط الصادر من ذلك الراس.
الوسطات ومركز الثقل.
منتصفات الاضلاع الثلاث ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على نفس المثلث دائرة النقاط التسع للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين راس المثلث والمركز القائم وشعاع دائرة النقاط التسع هي نصف شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث.
تسع نقاط من هذه الدائرة موجودة على المثلث.
[عدل]حساب مساحة المثلث
أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي
حيث S هي المساحة وbهي طول قاعدة المثلث وhهو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل ايّ ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو المستقيم الصادر من الراس المقابل للضلع والعموديّ عليه.
[عدل]اقرأ أيضا
علم المثلثات
[عدل]وصلات خارجية
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أنواع المثلثات
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:
مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية. وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.
مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.
متساوي الاضلاع متساوي الساقين مختلف الاضلاع
كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:
مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة(زاوية منفرجة)
مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).
قائم منفرج حاد
[عدل]حقائق عن المثلثات
[عدل]تشابه مثلثين
يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~)
[عدل]نظرية فيثاغورس
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، أي:
أ َ2 = ب َ2 + ج َ2
A2 = B2 + C2
مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام: حيث :
مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاية المحصورة بينهما"
|أ|^2 = |ب|^2 + |ج|^2 - 2 × |ب|× |ج| × جتا (دْ)
A2 = B2 + C2 − 2 * B * C * cosα
و هو صحيح لكل المثلثات حتى ولو لم تكن الزاوية (د) قائمة.
[عدل]مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي:
المساحة = 0.5× ق × ع
Area = 0.5 * B * H
حيث (ق أو B) هي طول أحد أضلاع المثلث ( ويسمى القاعدة)، و(ع أو H) هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل له (ويسمى الارتفاع).
من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:
يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.
[عدل]نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث
الموسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد اضلاع المثلث في منتصفه ويكون عموديّا عليه وتتلاقى الوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاث ويكون تقاطع موسطين عموديين فقط كافيا لمعرفة مركز هذه الدائرة.
الدائرة المحيطة لمثلث يمرّ من رؤوس المثلث الثلاث
تقول مبرهنة طالس انّه إذا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث توجد على ضلع من أضلاع المثلث فانّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.
نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم
.
الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث وتكون عمودية غلى الضلع المقابل. ويمثل الارتفاع البعد بين الراس والضلغ المقابل كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.
تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث
.
منصف الزاوية هو مستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمسّ اضلاع المثلث الثلاث.
الموسّط هو قطعة مستقيم تنطلق من رأس من رؤوس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل وتتقاطع الموسطات الثلاث في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع موسطين فقط كافيا لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين راس المثلث ومركز الثقل مساويا ل 2/3 الموسط الصادر من ذلك الراس.
الوسطات ومركز الثقل.
منتصفات الاضلاع الثلاث ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على نفس المثلث دائرة النقاط التسع للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين راس المثلث والمركز القائم وشعاع دائرة النقاط التسع هي نصف شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث.
تسع نقاط من هذه الدائرة موجودة على المثلث.
[عدل]حساب مساحة المثلث
أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي
حيث S هي المساحة وbهي طول قاعدة المثلث وhهو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل ايّ ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو المستقيم الصادر من الراس المقابل للضلع والعموديّ عليه.
[عدل]اقرأ أيضا
علم المثلثات
[عدل]وصلات خارجية
